Давид Гильберт и бесконечный «Гранд-отель»
Отель de Caux, Женевское Озеро, Швейцария. Фото конца 19-го века
23.09.2017

Давид Гильберт и бесконечный «Гранд-отель»

Однажды математик Давид Гильберт работал администратором отеля с бесконечным количеством номеров. Стоял самый разгар курортного сезона и абсолютно все номера оказались заняты. Уставший после напряженного рабочего дня Гильберт только-только собрался прилечь, как в дверь неожиданно постучали.

На пороге стоял взволнованный помощник администратора.

- Херр Гильберт, у нас тут боли в животе,- дрожащим голосом произнес он.

Тут необходимо сделать небольшое отступление и заметить, что если бы Давид Гильберт был русским, его помощник непременно упомянул бы головную боль или даже, простите, геморрой. Но поскольку и сам Гильберт и его помощник были немцами, то речь определенно велась о болях в животе.

- Прибыл еще один постоялец,- пояснил помощник,- куда же нам его селить?

Задача, конечно, не из легких. Но только не для пытливого математического ума. Гильберт быстро сообразил, что для того, чтобы поселить всего одного постояльца в заполненный под завязку бесконечный отель, ему понадобится всего один свободный номер. А один свободный номер означает, что всего один клиент должен находиться вне номера и этим клиентом не может быть новоприбывший. Правда, если попросить одного из постояльцев освободить занимаемые апартаменты, это будет выглядеть крайне невежливо и негативно отразится как на репутации отеля, так и самого Гильберта. Поэтому наилучшим решением будет попросить всех постояльцев, поменять занимаемые номера в порядке очереди.

Постоялец из номера 1 переехал в номер 2, постоялец из номера 2 в номер 3 и так далее. В результате в каждый момент времени ровно один постоялец находился в процессе переезда и новый гость смог совершенно беспрепятственно вселиться в освободившиеся апартаменты под номером 1.

Довольный Гильберт с чувством выполненного долга удалился в свою комнату, однако поспать ему снова не удалось. Лишь только он прикрыл глаза, как в дверь снова постучал все тот же помощник.

- Опять боли в животе?- спросил Гильберт.

- Точно так, Херр Гильберт. Новые постояльцы.

- Постояльцы? Сколько их?- осведомился Гильберт, на ходу переодеваясь из пижамы в служебный костюм.

- Бесконечное количество,- с ужасом произнес помощник.

- Бесконечное количество? Ничего разберемся.

Эта задача оказалась сложнее предыдущей, однако, находчивый Гильберт и тут сумел найти решение. Воспользовавшись, в сущности, похожим методом, он быстро определил, что для расселения бесконечного количества гостей по комнатам уже заполненного бесконечного отеля (в котором, кстати, до сих пор продолжался бесконечный переезд из номера в номер) необходимо освободить бесконечное количество комнат. Что может быть проще? Постоялец из номера 2 переезжает в номер 4, из номера 3 в номер 6, из номера 4 в номер 8 и так далее. Тем самым, гости заполняют бесконечное количество комнат с четными номерами, а все комнаты с нечетными остаются свободными и именно в них заселяются бесконечное число новых постояльцев.

И снова Гильберт отправился в свой номер, и снова попытался заснуть и снова оказался разбужен трясущимся помощником.

- Сколько?- уже не упоминая о болях в животе спросил Гильберт.

- Снова бесконечное количество. И все на автобусах. Которых тоже бесконечно много.

- За мной! А пассажирам скажи приготовить билеты с номерами посадочных мест,- скомандовал Гильберт и засучил рукава.

На этот раз он решил применить метод степени простого числа, ведь простых чисел тоже, как известно, бесконечное количество. Все постояльцы были переселены из своих комнат в комнаты степени 2. Постоялец из номера 1 оказался в номере 2, из номера 2 в номере 4, из номера 3 в номере 8 и так далее. Всех пассажиров из первого автобуса, Гильберт поселил в комнаты с номерами 3 в степени n. Из второго в 5 в степени n. И так далее по всем степеням нечетных простых чисел.

Таким образом, Давид Гильберт не только доказал, что в бесконечный, уже на 100 процентов заполненный отель можно поселить бесконечное число новых постояльцев, но и оставил свободными комнаты, номера которых не являются степенью простого числа. И наконец-то отправился спать.


© Автор: Артём Демченков,
При копировании антифакта обязательно упоминание автора и гиперссылка на antifact.ru.